Содержание дисциплины «Математический анализ»

ТЕМА 1. Числовые последовательности и функции. 

Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.Теорема о единственности предела. Формулировка критерия Коши сходимости числовой последовательности. Свойства предела числовой последовательнос­ти.  Функция одного действительного аргумента.  Способы зада­ния функции.  Операции над функциями.  График функции. Класси­фикация функций. Определение предела функции в точке.  Свойства функций,  имеющих предел  в точке. Предел функции в бесконеч­ности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции,  их свойст­ва. Сравнение и эквивалентность бесконечно малых функций. Приме­нение к вычислению пределов. Теорема о связи предела и бесконеч­но малыми. Основные теоремы о пределах; 1-й и 2-й замечательные пределы и их модификации. Непрерывность функции в точке (различные определения и их связь).  Непрерывность суммы, произведения, частного, основных элементарных функций,  сложной функции.

Односторонние пределы. Точки разрыва функций, их классифика­ция.  Свойства функций,  непрерывных на отрезке.  Исследование функции на непрерывность.

ТЕМА 2. Дифференциальное исчисление функции одного переменного

Определение производной, ее геометрический и механический смысл.  Уравнение касательной и нормали к кривой.Связь непре­рывности и дифференцируемости. Правила дифференцирования. Таб­лица производных основных элементарнх функций. Производная сложной, обратной функции, функции, заданной параметрически, неявно. Логарифмическое дифференцирование.

Дифференциал функции, его геометрический смысл и вычисление. Дифференциал суммы, произведения, частного. Инвариантность фор­мы 1-го дифференциала. Применение дифференциала в прближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков. Тео­рема Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя для рас­крытия неопределенностей. Формула Тейлора. Определение и признак монотонности функции. Экстремумы. Критические точки,  необходимое условие существования экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрез­ке.  Исследование графика фукции на выпуклость, вогнутость. Точ­ки перегиба. Общая схема исследования и построение графика функ­ции.

ТЕМА 3. Интегральное исчисление

Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменных и интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дро­бей. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирова­ние иррациональных выражений. Опреде­ленный интеграл, как предел интегральной суммы. Геометрический смысл определенного интеграла. Дифференцирование по верхнему пределу. Теорема о среднем. Формула Ньютона — Лейбница. Замена переменных в  определенном интеграле. Интегрирование по частям.

Геометрические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы.

Литература и учебно-методические материалы

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Т 1. -  М.: В.Ш., 1985.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Т 2. -  М.: В.Ш., 1985.
3. Рябушко и др Сборник индивидуальных заданий Т 2 -  Минск.: Высшая школа, 1990.
4. Бронштейн И.Н. Семендяев К.А. Справочник по математике. -  М.: Наука., 1986.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В2т. – М.: Наука, 1985.– Т.1 – 432 с.
6. Шипачев Высшая математика. -  М.: В.Ш., 1986.
7. Давыдова В.П., Павловская Л.Г. Техника дифференцирования. Варианты заданий для самостоятельной работы студентов. /Алт.политехн. ин-т им.И.И. Ползунова, -Барнаул: Б.и., 199. -27с.
8. Головичева И.Э., Кантор Е.И. Приложения дифференциального исчисления функции одного переменного. Методические указания и варианты заданий по курсу «Высшая математика»/ Алт.гос.техн.ун-тим.И.И. Ползунова. –Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1999. -26с.
9. Мешма В.А., Никифорова Е.Г. Определенный интеграл. Варианты заданий для срс по курсу высшей математики/ Алт.гос.техн.ун-тим.И.И. Ползунова. –Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1998. -30с.

Учебные пособия

1. Зайцев В.П., Гейнеман А.Э. Математика. Часть 2. Функции одного аргумента. Предел  и непрерывность функции. Дифференцирование функции одного аргумента. Приложения производных. Функции нескольких перемиенных.Учебное пособие./Алт.гос. техн.ун-т. им.И.И. Ползунова.- Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2004. -221с.
2. Зайцев В.П., Пышнограй Г.В., Жеронкина Н.Г.  Математика. Часть 3. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл, Определенный интеграл по фигуре.Учебное пособие./Алт.гос. техн.ун-т. им.И.И. Ползунова.- Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2005. -206с.

 доцент каф. ВМ  Е.Г. Никифорова